Options vanilles
Grecques, arbres et smile
Trois questions sur les options ordinaires. Comment le prix réagit-il quand le marché bouge ? Quelle façon de le calculer est la plus précise ? Et que fait payer le marché pour se protéger d’une baisse ?
Option européenne, Black-Scholes-Merton
Chargement du modèle
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Deux arbres, dont un bien meilleur
L’arbre de Cox-Ross-Rubinstein se rapproche du prix exact quand on ajoute des pas, mais pas de façon régulière. Ajouter des pas peut le dégrader. Le fait qu’un point d’arrivée de l’arbre tombe ou non exactement sur le strike change sans cesse, et c’est ce qui provoque la ligne orange en dents de scie.
L’arbre de Leisen-Reimer est construit pour que le strike tombe toujours sur un point d’arrivée. Sa ligne est droite et deux fois plus pentue. Aux réglages par défaut, 101 de ses pas ont environ 16 fois moins d’erreur que 1 010 pas de l’autre arbre.
Ce que le marché fait payer pour la baisse
| Échéance | Jours | Strikes | Volatilité à la monnaie |
|---|---|---|---|
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| -- | -- | -- | -- |
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Lire le smile
La volatilité baisse quand le strike monte. Les puts à strike bas coûtent plus cher. Une explication courante est que beaucoup de gens veulent une protection et que peu veulent la vendre. Ces puts s’échangent donc à une volatilité implicite plus élevée que les calls à strike haut. La pente est plus forte pour l’échéance la plus courte et plus douce pour les échéances à environ un mois.
Seules les options hors de la monnaie sont utilisées : les puts sous le forward (le prix que le fonds devrait avoir à l’échéance), les calls au-dessus. Une option très dans la monnaie réagit à peine à la volatilité : une erreur d’un tick sur son prix déplace donc la volatilité implicite de plusieurs points. Utiliser toute la chaîne donne un smile qui saute entre 20 % et 50 % sans raison économique.
C’est aussi le point faible de la page autocall. Ce modèle utilise une volatilité plate, alors que sa barrière de capital se situe loin dans la partie gauche, la plus chère, de cette courbe. Le modèle fait donc paraître le titre meilleur qu’il n’est.
Ce que je n’ai pas pu montrer
Les volatilités SPY sont des approximations. Les options SPY peuvent être exercées avant l’échéance, et le fonds verse des dividendes à dates fixes. Je traite les options comme européennes, avec un taux d’intérêt fixe de 4,2 % et un rendement du dividende fixe de 1,2 %. Le forward qui sépare les puts des calls est construit à partir de ces deux chiffres, pas mesuré sur le marché. L’effet est le plus grand pour les échéances les plus courtes.
La chaîne est un instantané du 21 septembre 2026. Sa plus courte échéance, le 23 septembre, est déjà passée pour vous, et le graphique le dit. Certaines cotations sont le dernier prix échangé et non le milieu entre l’offre et la demande, et peuvent dater de quatre jours.
Ni contrôle d’arbitrage, ni surface ajustée. Je n’ai pas vérifié si la chaîne contient des prix qui violent les règles d’absence d’arbitrage, et je n’ai pas ajusté de courbe lisse dessus.
Code source complet et 32 tests sur github.com/Nicolas8330/option-pricer.